线性代数同济第七版pdf电子版免费版

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线性代数同济七版怎么学习

线性代数怎么学习

线性代数其实不难学，但是某些脑残的教材导致了大家觉得线性代数难学。对，我说的就是同济版，居然用行列式来起手线性代数学习，一开始逆序数定义就来得莫名其妙，然后那一大坨行列式的定义式更让人望而生畏，后面再来一大篇幅的各种花式求行列式，当年作为一个萌新的我，直接就丧失了学习线性代数的信心以及兴趣了。吐槽完毕。

要学好线性代数，最重要的是抓住线性代数的主线。线性代数的主线就是线性空间以及线性映射，整个线性代数的概念公式定义定理都是围绕着线性空间以及线性映射展开的。你要做的，就是紧紧抓住这条主线，把线性代数的所有知识点串联起来，然后融会贯通，自然就能学好线性代数了。

1，线性空间。线性空间的定义比较抽象，简单的说，就是向量组成的一个集合，这个集合可以定义加法以及纯量乘法，并且对加法以及乘法满足交换律结合律以及分配率。这个集合以及定义在集合上的代数运算就是线性空间。

研究线性空间有几个途径，一是基与维数，二是同构，三是子空间与直和以及商空间，四是线性映射。

先讲讲基与维数。一个线性空间必定存在基，线性空间的任意元素都可以由基线性表出，且表出方式唯一，这个唯一的表出的组合就是这个元素在这个基下的坐标。线性表出且表出方式唯一的充分必要条件是什么？这里又引出了线性无关以及极大线性无关组的概念，极大线性无关组元素的个数又能引出秩的概念。由秩又能引出维度的概念。以上这些概念都是为了刻画线性空间的基与维数而衍生出来的，并不是凭空出现无中生有的。

下面再谈谈同构。线性空间千千万，应如何研究呢？同构就是这样一个强大的概念，任何维数相同的线性空间之间是同构的，空间的维数是简单而深刻的，简单的自然数居然能够刻画空间最本质的性质。借助于同构，要研究任意一个n维线性空间，只要研究Rⁿ就行了。

n维线性空间作为一个整体，我们自然想到能不能先研究它的局部性质？所以自然而然的导出了子空间的概念以及整个空间的直和分解。直和分解要求把整个空间分解为两两不交的子空间之和，通过研究各个简单的子空间的性质，从而得出整个空间的性质。

2，线性映射。

前面讲了线性空间，舞台搭好了，轮到主角：线性映射登场了。

线性映射的定义这里就不赘述了。我们小学就学过正比例函数y=kx，这是一个最简单的一维线性映射，也是一个具体的线性映射'模型'，线性映射的所有性质对比着正比例函数来看，一切都是那么简单易懂。现在把定义域从一维升级到多维，值域也从一维升级到多维，然后正比例系数k也升级为一个矩阵，那么这个正比例函数就升级为一个线性映射了。

1)线性映射的核空间。这是线性映射的一个重要的概念，什么是线性映射的核空间呢？简单的说，就是映射到零的原像的集合，记作KER。用正比例函数来类比，显然当k不等于0时，它的核是零空间，当k为零时，它的核空间是整个R。

有时候需要判定一个线性映射是不是单射，按照定义来还是没那么好证的，这时我们可以从它的核来判定，只要它的核是零，那么这个线性映射必然是单射。

2)线性映射的像。当自变量取遍整个定义域时，它的像的取值范围成为一个线性子空间，称为像空间，记作IM。

3)线性映射的矩阵表示。一个抽象的线性映射应如何'解析'的表达出来呢？这个表达式写出来就是一个矩阵，且这个矩阵依赖于基的选择。也就是说在不同的基下，线性映射有不同的矩阵。基有无穷个，相应的矩阵有无穷个。这就给用矩阵研究线性映射带来了麻烦。

幸好我们有相似矩阵。同一个线性映射在不同的基下的矩阵是相似关系，相似不变量有秩，行列式，迹，特征值，特征多项式等。所以可以通过相似矩阵来研究线性映射的秩，行列式，迹，特征值，特征多项式等性质。

线性映射的矩阵有无穷多，那么这其中有哪些是值得关注的呢？第一就是标准正交基下的矩阵了，这也是最常见的。

然而一个线性映射的矩阵在标准正交基下可能特别复杂，所以需要选择一组特殊的基，让它的矩阵在这个基下有最简单的矩阵表示。如果存在这样的基，使得线性映射的矩阵为对角矩阵，则称这个线性映射可对角化。

然而是不是所有线性映射都可以对角化呢，遗憾的是，并不是。那么就要问，如果一个线性映射不能对角化，那么它的最简矩阵是什么？这个问题的答案是若尔当标准型。可以证明，在复数域上，任何线性映射都存在唯一的若尔当标准型。

线性代数是什么

和运算里迷失了。

我在初接触线性代数的时候简直感觉这是一门天外飞仙的学科，一个疑问在我脑子里浮现出来：

线性代数到底是一种客观的自然规律还是人为的设计？

如果看到这个问题，你的反应是“这还用问，数学当然是客观的自然规律了”，我一点儿都不觉得奇怪，我自己也曾这样认为。从中学的初等数学和初等物理 一路走来，很少人去怀疑一门数学学科是不是自然规律，当我学习微积分、概率统计时也从来没有怀疑过，唯独线性代数让我产生了怀疑，因为它的各种符号和运算 规则太抽象太奇怪，完全对应不到生活经验。所以，我还真要感谢线性代数，它引发了我去思考一门数学学科的本质。其实，不止是学生，包括很多数学老师都不清 楚线性代数到底是什么、有什么用，不仅国内如此，在国外也是这样，国内的孟岩写过《理解矩阵》，国外的Sheldon Axler教授写过《线性代数应该这样学》，但都还没有从根本上讲清楚线性代数的来龙去脉。对于我自己来讲，读大学的时候没有学懂线性代数，反而是后来从编程的角度理解了它。很多人说数学好可以帮助编程，我恰好反过来了，对程序的理解帮助了我理解数学。

本文的目标读者是程序员，下面我就带各位做一次程序员在线性代数世界的深度历险！既然是程序员，在进入线性代数的领域之前，我们不妨先从考察一番程序世界，请思考这样一个问题：

计算机里面有汇编、C/C++、Java、Python等通用语言，还有Makefile、CSS、SQL等DSL，这些语言是一种客观的自然规律还是人为的设计呢？

为什么要问这样一个看起来很蠢的问题呢？因为它的答案显而易见，大家对天天使用的程序语言的认识一定胜过抽象的线性代数，很显然程序语言虽然包含了 内在的逻辑，但它们本质上都是人为的设计。所有程序语言的共同性在于：建立了一套模型，定义了一套语法，并将每种语法映射到特定的语义。程序员和语言实现 者之间遵守 语言契约：程序员保证代码符合语言的语法，编译器/解释器保证代码执行的结果符合语法相应的语义。比如，C++规定用new A语法在堆上构造对象A，你这样写了C++就必须保证相应的执行效果，在堆上分配内存并调用A的构造函数，否则就是编译器违背语言契约。

从应用的角度，我们能不能把线性代数视为一门程序语言呢？答案是肯定的，我们可以用语言契约作为标准来试试。假设你有一个图像，你想把它旋转60 度，再沿x轴方向拉伸2倍；线性代数告诉你，“行！你按我的语法构造一个矩阵，再按矩阵乘法规则去乘你的图像，我保证结果就是你想要的”。

实际上，线性代数和SQL这样的DSL非常相似，下面来作一些类比：

模型和语义：SQL是在低级语言之上建立了关系模型，核心语义是关系和关系运算；线性代数在初等数学之上建立了向量模型，核心语义是向量和线性变换

语法：SQL为每种语义定义了相应的语法，如select, where, join等；线性代数也定义了向量、矩阵、矩阵乘法等语义概念相应的语法

编译/解释：SQL可以被编译/解释为C语言；线性代数相关概念和运算规则可以由初等数学知识来解释

实现：我们可以在MySQL、Oracle等关系数据库上进行SQL编程；我们也可以在MATLAB、Mathematica等数学软件上进行线性代数编程

所以，从应用的角度看， 线性代数是一种人为设计的领域特定语言(DSL)，它建立了一套模型并通过符号系统完成语法和语义的映射。实际上，向量、矩阵、运算规则的语法和语义都是人为的设计，这和一门语言中的各种概念性质相同，它是一种创造，但是前提是必须满足语言契约。

为什么要有线性代数？

可能有人对把线性代数当成一门DSL不放心，我给你一个矩阵，你就把我的图形旋转了60度沿x轴拉伸了2倍，我总感觉不踏实啊，我都不知道你“底 层”是怎么做！其实，这就像有的程序员用高级语言不踏实，觉得底层才是程序的本质，老是想知道这句话编译成汇编是什么样？那个操作又分配了多少内存？别人 在Shell里直接敲一个wget命令就能取下一个网页，他非要用C语言花几十分钟来写一堆代码才踏实。其实，所谓底层和上层只是一种习惯性的说法，并不 是谁比谁更本质。 程序的编译和解释本质上是不同模型间的语义映射，通常情况下是高级语言映射为低级语言，但是完全也可以把方向反过来。Fabrice Bellard用Java写了一个虚拟机，把Linux跑在Java虚拟机上，这就是把机器模型往Java模型上映射。

建立新模型肯定依赖于现有的模型，但这是建模的手段而不是目的，任何一种新模型的目的都为了更简单地分析和解决某一类问题。线性代数在建立的时候，它的各种概念和运算规则依赖于初等数学的知识，但是一旦建立起来这层抽象模型之后，我们就 应该习惯于直接利用高层次的抽象模型去分析和解决问题。